译注：作者同意刊载，不过尚未检查翻译准确与否。仓促翻译，可能会有谬误，大家多和原文比对，不正确的地方欢迎邮件我更正。
原文链接：Power Perpetuals
发布于：8.17.2021
作者：Dave White, Dan Robinson, Zubin Koticha, Andrew Leone, Alexis Gauba, Aparna Krishnan
简介
本文介绍了一种新型的衍生品 – 乘方永续合约。
如果 ETH 的价格翻倍，ETH 的 2 次方永续合约翻 4 倍，ETH 的 3 次方永续合约翻 8 倍，ETH 的 5 次方永续合约翻 32 倍。
当然，这种不对称的上涨并不是免费的。那些做多乘方永续合约的人需要定期支付溢价收益，给那些做空的人。
乘方永续合约提供了类似于全球期权的风险敞口，而不需要行权价或到期日，使其有可能将大部分期权市场的流动性，整合到单一的工具中。
从不少方面来讲，乘方永续合约都是 永续期权 合理的下一步。据我们所知，除我们外，研究人员 Wayne Nilsen 和 lllvvuu 也各自独立发现了这种产品。
机制
前提条件
乘方永续合约是 永续期权 论文中介绍的永续衍生品的一个特殊系列。
在本文接下来的内容中，我们将假设读者已经熟悉永续期权和 永续期货 的基本机制。
定义
乘方永续合约是指与某些标的资产价格的乘方挂钩的永续衍生品。在本文中，我们将假设这个标的资产是以太币。
对于任何乘方 p，ETH^p 乘方永续合约都是通过定期（如每天）支付的资金费用来维持的。如果在注资时，乘方永续合约的当前价格是 $MARK，做多乘方永续合约的人必须向做空的人支付 $(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^p)。
在乘方永续合约里，我们把这种资金费用称为 溢价收益 (premium yield)。因为这种费用通常是由多头向空头支付的溢价，以换取类似期权的风险敞口。
例子
考虑 ETH^2 乘方永续合约。
为简单起见，假设 ETH 的交易价格为 $3，而在支付资金时，ETH^2 乘方永续合约的交易价格为 $9.09。那么每份合约多头都将不得不向空头支付 $(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^2)=$(9.09-3^2)=$9.09-$9.00=$0.09。
定价
概述
乘方大于 1 的永续合约具有正的 凸性，这意味着当价格对他们有利时，持有者赚钱更快，而当价格对他们不利时，亏钱则更慢。用期权的话说，我们说它们有正的 伽马值 (gamma)。
就像期权通常以其 内在价值 的溢价交易一样，ETH^p 的乘方永续合约通常以 ETH 价格的 p 次幂的溢价交易。
推导
按照 永续期权论文 中的方法，我们可以先对即将到期的乘方衍生品进行定价，然后这些衍生品的组合进行定价，这个组合刚好相当于所需的永续合约。
下面我们将使用 Black-Scholes 假设来推导我们的价格。这些当然不是最合适的假设，但应该可以作为一个例子来说明做市商如何去给乘方永续合约估值。
在 Black-Scholes 假设下给一个即将到期的乘方衍生品定价要比给期权定价简单得多。有兴趣的读者可以在 StackExchange 这里 找到一个快速推导。其价格为
\[S^pe^{t\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}\]
其中 S 是现货价格，p 是乘方数，t 是到期时间，r 是漂移（drift）或者叫无风险利率，v 是年化波动率。
结合 永续期权论文 附录 B 中的永续期权定价方法，并对所得的几何数列进行求和，我们可以得到每期支付一次资金的乘方永续合约的价格表达式如下（假设数列收敛 – 见下文）：
\[S^p\frac {1}{2e^{-f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}\]
其中 f 是以年为单位的注资期。
这可以解释为指数 S^p 乘以调整系数 \(\frac {1}{2e^{-frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}\)，该系数考虑了乘方永续合约的嵌入式期权性。需要注意的是，当注资期接近 0 时，这个调整系数接近 1。
溢价收益（我们对融资率的新术语）可以计算为：
\[\text {MARK}-\text {INDEX} = S^P (\frac {1}{2e^{-f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}-1)\]
收敛性
我们总是可以对股票永续期权进行定价，而与之不同的是，配置不好的乘方永续合约可能会出现价格无法收敛的情况。特别是，我们只有在以下情况下才可以对乘方永续合约进行定价：
\[\frac {e^{f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}}{2} < 1\]
直观地说，乘方数和波动率越高，长期的临期乘方期货就越有价值；注资期越长，乘方永续合约的价值就越集中于长期的乘方期货。对某些组合来说，同等的投资组合可以变得无限有价值。
这个问题在实践中可以通过选择一个足够小的注资期来轻松避免。
例子
ETH^2 乘方永续合约
见 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。
在 Black-Scholes 假设下，ETH^2 乘方永续合约的价格为 \(S^2\frac {1}{2e^{-f（r+v^2）}-1}\)。
在其他条件相同的情况下，当 ETH 价格 4 倍时，它会翻 16 倍。
它有一个很方便的特性，就是有一个恒定的伽马值，即 \(\frac {2}{2e^{-f (r+v^2)}-1}\)，这意味着无论 ETH 的价格如何，它都能提供恒定的期权性。
我们亲切地称它为 “squeeth”，是 “ETH 平方” 的简称。
ETH^3 乘方永续合约
见 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。
ETH^3 乘方永续合约的价格为 \(S^3\frac {1}{2e^{-f（2r+pv^2）}-1}\)。
在其他条件相同的情况下，ETH 价格翻 4 倍时，它将翻 64 倍。
你可以从图中清楚地看到永续合约的交易价格比其指数 ETH^3 要高，因为它为持有者提供了期权。
Python 定价实现
你可以在 https://github.com/para-dave/powerperps/ 看到乘方永续合约定价的 Python 实现，包括根据经验证明正确性的测试。
总结
乘方永续合约仍处于起步阶段，但我们从 一开始 就对其进行了深入的研究，并仍对其潜力感到非常兴奋。
如果你和我们一样对这种新东西感到好奇，我们很想听听你的想法。你可以发邮件给 dave@paradigm.xyz，或 在 Twitter 上给我发私信，或通过 squeeth@opyn.co，联系 Opyn。
鸣谢：lllvvuu、Wayne Nilsen、Wade Prospere、Grug、Lily Francus、Benn Eifert 博士、Jeff Wang、Mewny